Cara Menghitung Akar Kuadrat Secara Manual

2 Metode:Menggunakan Faktorisasi Prima Mencari Akar Kuadrat Secara Manual

Pada masa sebelum kalkulator ditemukan, siswa dan profesor harus menghitung akar kuadrat secara manual. Beberapa cara yang berbeda telah berkembang untuk mengatasi proses yang sulit ini. Beberapa cara memberikan perkiraan kasar dan cara lainnya memberikan nilai yang tepat. Untuk mempelajari cara mencari akar kuadrat sebuah angka hanya dengan menggunakan operasi sederhana, lihatlah Langkah 1 di bawah ini untuk memulai.

Metode1
Menggunakan Faktorisasi Prima

1
Bagilah angka Anda menjadi faktor-faktor kuadrat sempurna. Cara ini menggunakan faktor-faktor dari suatu angka untuk mencari akar kuadrat dari angka tersebut (bergantung pada angkanya, jawaban dapat berupa angka yang tepat atau perkiraan yang mendekati). Faktor-faktor dari suatu angka adalah sekumpulan angka-angka lain yang jika dikalikan akan menghasilkan angka tersebut.^[1] Misalnya, Anda bisa mengatakan bahwa faktor-faktor dari 8 adalah 2 dan 4 karena 2 × 4 = 8. Sedangkan, kuadrat sempurna adalah angka-angka bulat yang merupakan hasil perkalian dari angka bulat lainnya. Misalnya, 25, 36, dan 49 adalah kuadrat sempurna karena masing-masing merupakan 5², 6², dan 7². Seperti yang sudah dapat Anda perkirakan, faktor-faktor kuadrat sempurna adalah faktor-faktor yang juga merupakan kuadrat sempurna. Untuk mulai mencari akar kuadrat melalui faktorisasi prima, cobalah terlebih dahulu menyederhanakan angka Anda menjadi faktor-faktor kuadrat sempurnanya.
- Mari kita gunakan contoh. Kita ingin mencari akar kuadrat dari 400 secara manual. Untuk memulai, kita akan membagi angka tersebut menjadi faktor-faktor kuadrat sempurnanya. Karena 400 adalah kelipatan 100, kita tahu bahwa 400 dapat dibagi habis dengan 25 – kuadrat sempurna. Dengan pembagian bayangan yang cepat, kita mengetahui bahwa 400 dibagi 25 sama dengan 16. Secara kebetulan, 16 juga merupakan kuadrat sempurna. Dengan demikian, faktor-faktor kuadrat sempurna dari 400 adalah 25 dan 16 karena 25 × 16 = 400.
- Kita dapat menulisnya sebagai: Akar(400) = Akar(25 × 16)
2
Carilah akar kuadrat dari faktor-faktor kuadrat sempurna Anda. Sifat perkalian dari akar kuadrat menyatakan bahwa untuk angka a dan b berapapun, Akar(a × b) = Akar(a) × Akar(b).^[2] Karena sifat ini, sekarang, kita sekarang dapat mencari akar kuadrat dari faktor-faktor kuadrat sempurna kita dan mengalikannya untuk mendapatkan jawaban kita.
- Dalam contoh kita, kita akan mencari akar kuadrat dari 25 dan 16. Lihat di bawah ini:
  - Akar(25 × 16)
  - Akar(25) × Akar(16)
  - 5 × 4 = 20
3
Jika angka Anda tidak dapat difaktorkan dengan sempurna, sederhanakan jawaban Anda ke dalam bentuk yang paling sederhana. Dalam kehidupan nyata, sering kali angka-angka yang perlu Anda cari akar kuadratnya bukanlah merupakan angka-angka bulat yang menyenangkan dengan faktor-faktor kuadrat sempurna yang terlihat jelas seperti 400. Dalam kasus-kasus ini, mungkin saja kita tidak dapat mencari jawaban yang tepat berupa angka bulat. Tetapi, dengan mencari faktor-faktor kuadrat sempurna berapa pun yang bisa Anda dapatkan, Anda dapat mencari jawabannya dalam bentuk akar kuadrat yang lebih kecil, sederhana, dan lebih mudah dihitung. Untuk melakukannya, sederhanakan angka Anda menjadi gabungan faktor-faktor kuadrat sempurna dan faktor-faktor kuadrat tidak sempurna, kemudian sederhanakan.
- Mari kita gunakan akar kuadrat 147 sebagai contoh. 147 bukanlah hasil perkalian dua kuadrat sempurna, sehingga kita tidak bisa mendapatkan nilai angka bulat yang tepat seperti di atas. Akan tetapi, 147 adalah hasil perkalian satu kuadrat sempurna dan angka lain – 49 dan 3. Kita dapat menggunakan informasi ini untuk menuliskan jawaban kita dalam bentuk yang paling sederhana seperti berikut:
  - Akar(147)
  - = Akar(49 × 3)
  - = Akar(49) × Akar(3)
  - = 7 × Akar(3)
4
Jika dibutuhkan, perkirakan. Dengan akar kuadrat Anda yang berada dalam bentuk paling sederhana, biasanya cukup mudah untuk mendapatkan perkiraan kasar mengenai jawaban angkanya dengan menebak nilai akar kuadrat yang tersisa dan mengalikannya. Salah satu cara untuk memandu perkiraan Anda adalah dengan mencari kuadrat-kuadrat sempurna yang lebih besar dan kecil dari angka di dalam akar kuadrat Anda. Anda akan mengetahui bahwa nilai desimal dari angka di dalam akar kuadrat Anda berada di antara kedua angka itu, sehingga Anda dapat menebak nilainya di antara kedua angka tersebut.
- Mari kembali ke contoh kita. Karena 2² = 4 dan 1² = 1, kita tahu bahwa Akar(3) berada di antara 1 dan 2 – mungkin lebih dekat ke 2 dibandingkan 1. Kita memperkirakan 1,7. 7 × 1,7 = 11,9. Jika kita memeriksa jawaban kita di kalkulator, kita dapat melihat bahwa jawaban kita cukup dekat dengan jawaban sebenarnya yaitu 12,13.
  - Hal ini juga berlaku untuk angka-angka yang lebih besar. Misalnya, Akar(35) dapat diperkirakan di antara 5 dan 6 (mungkin lebih dekat ke 6). 5² = 25 dan 6² = 36. 35 berada di antara 25 dan 36, sehingga akar kuadratnya pasti berada di antara 5 dan 6. Karena 35 hanya kurang satu dari 36, bisa kita katakan dengan yakin bahwa akar kuadratnya sedikit lebih kecil dari 6. Memeriksa dengan kalkulator akan memberikan kita jawaban sekitar 5,92 – kita benar.
5
Cara lainnya, sederhanakan angka Anda menjadi faktor-faktor persekutuan terkecilnya sebagai langkah pertama Anda. Mencari faktor-faktor kuadrat sempurna tidaklah perlu dilakukan jika Anda dapat dengan mudah menentukan faktor-faktor prima dari suatu angka (faktor-faktor yang juga merupakan angka prima). Tulislah angka Anda dalam bentuk faktor-faktor persekutuan terkecilnya. Kemudian, carilah pasangan angka prima yang sesuai dari faktor-faktor Anda. Saat Anda menemukan dua faktor prima yang sama, hilangkan kedua angka ini dari akar kuadrat dan letakkan salah satu angka ini di luar akar kuadrat.
- Sebagai contoh, carilah akar kuadrat dari 45 menggunakan cara ini. Kita tahu bahwa 45 × 5 dan kita tahu bawah 9 = 3 × 3. Dengan demikian, kita dapat menulis akar kuadrat kita dalam bentuk faktor-faktornya seperti ini: Akar(3 × 3 × 5). Hilangkan saja kedua angka 3 dan letakkan satu angka 3 di luar akar kuadrat untuk menyederhanakan akar kuadrat Anda menjadi bentuk paling sederhana: (3)Akar(5).Dari sini, kita akan mudah untuk memperkirakan.
- Sebagai contoh soal terakhir, marilah kita mencoba mencari akar kuadrat dari 88:
  - Akar(88)
  - = Akar(2 × 44)
  - = Akar(2 × 4 × 11)
  - = Akar(2 × 2 × 2 × 11). Kita memiliki beberapa angka 2 di dalam akar kuadrat kita. Karena 2 adalah angka prima, kita dapat menghilangkan sepasang angka 2 dan meletakkan salah satunya di luar akar kuadrat.
  - = Akar kuadrat kita dalam bentuk paling sederhananya adalah (2) Akar(2 × 11) atau (2) Akar(2) Akar(11). Dari sini, kita dapat memperkirakan Akar(2) dan Akar(11) dan mencari perkiraan jawabannya sesuai yang kita inginkan.

Metode2
Mencari Akar Kuadrat Secara Manual

Menggunakan Algoritma Pembagian Panjang

1
Pisahkan digit-digit angka Anda menjadi pasangan. Cara ini menggunakan proses yang hampir sama dengan pembagian panjang untuk mencari akar kuadrat yang tepatdigit demi digit. Meskipun bukanlah suatu keharusan, Anda mungkin menganggap bahwa akan lebih mudah untuk melakukan proses ini jika Anda mengatur tempat kerja Anda dan angka Anda secara visual menjadi bagian-bagian yang mudah dikerjakan. Pertama, gambarlah sebuah garis vertikal yang membagi area kerja Anda menjadi dua bagian, kemudian gambarlah garis horisontal yang lebih pendek di dekat bagian kanan atas untuk membagi bagian kanan menjadi bagian atas yang kecil dan bagian bawah yang lebih besar. Selanjutnya, pisahkan digit-digit Anda menjadi pasangan, dimulai dari titik desimal. Misalnya, mengikuti aturan ini, 79.520.789.182,47897 menjadi "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Tulislah angka Anda di bagian kiri atas.
- Sebagai contoh, marilah kita mencoba menghitung akar kuadrat dari 780,14. Gambarlah dua garis untuk membagi tempat kerja Anda seperti di atas dan tulislah "7 80. 14" di bagian kiri atas. Tidak masalah jika angka yang paling kiri merupakan angka tunggal, dan bukan pasangan angka. Anda akan menulis jawaban Anda (akar kuadrat 780,14) di bagian kanan atas.
2
Carilah angka bulat terbesar yang nilai kuadratnya kurang dari atau sama dengan angka (atau pasangan angka) yang paling kiri. Mulailah dari bagian yang paling kiri dari angka Anda, baik pasangan angka maupun angka tunggal. Carilah kuadrat sempurna terbesar yang kurang dari atau sama dengan angka ini, kemudian hitunglah akar kuadrat dari kuadrat sempurna ini. Angka ini adalah n. Tulislah n di bagian kanan atas dan tulislah nilai kuadrat dari n di kuadran kanan bawah.
- Dalam contoh kita, bagian yang paling kiri adalah angka 7. Karena kita tahu bahwa 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9, kita dapat mengatakan bahwa n = 2 karena 2 merupakan angka bulat terbesar yang nilai kuadratnya kurang dari atau sama dengan 7. Tulislah 2 di kuadran kanan atas. Ini adalah digit pertama dari jawaban kita. Tulislah 4 (nilai kuadrat dari 2) di kuadran kanan bawah. Angka ini penting untuk langkah selanjutnya.
3
Kurangkan angka yang baru saja Anda hitung dari pasangan paling kiri. Seperti pembagian panjang, langkah selanjutnya adalah mengurangkan nilai kuadrat yang baru saja kita temukan dari bagian yang baru saja kita analisis. Tulislah angka ini di bawah bagian pertama dan kurangkan, sambil menuliskan jawaban Anda di bawahnya.
- Dalam contoh kita, kita akan menulis 4 di bawah 7, kemudian mengurangkannya. Pengurangan ini menghasilkan jawaban 3.
4
Turunkan pasangan selanjutnya. Pindahkan ke bawah bagian selanjutnya dari angka yang Anda cari akar kuadratnya, ke sebelah nilai pengurangan yang baru saja Anda temukan. Selanjutnya, kalikan angka di kuadran kanan atas dengan dua dan tulislah jawabannya di kuadran kanan bawah. Di sebelah angka yang baru saja Anda tuliskan, berikan tempat untuk soal perkalian yang akan Anda lakukan pada langkah selanjutnya dengan menulis '"_×_="'.
- Dalam contoh kita, pasangan selanjutnya dari angka kita adalah "80". Tulislah "80" di sebelah 3 pada kuadran kiri. Selanjutnya, kalikan angka di kanan atas dengan dua. Angka ini adalah 2, jadi 2 × 2 = 4. Tulislah "'4"' di kuadran kanan bawah, diikuti dengan _×_=.